[Algorithm] 크루스칼 알고리즘이란?

신장 트리란?

• 신장 트리는 그래프 알고리즘 문제로 자주 출제되는 문제 유형입니다.
• 신장 트리란, 하나의 그래프가 있을 때, 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미합니다.
• 이때 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립 조건이기도 합니다.
• 따라서, 이러한 그래프를 신장 트리라고 부릅니다.

크루스칼 알고리즘이란?

• 예를 들어, N개의 도시가 존재하는 상황에서, 각각의 도시 사이에 도로를 놓아, 전체 도시가 서로 연결될 수 있도록 도로를 설치할 때, 최소한의 비용으로 모든 도시를 연결하기 위해선 어떤 알고리즘이 사용되어야할까요?
• 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘을 ‘최소 신장 트리 알고리즘' 이라고 하며,
• 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘으로는 ‘크루스칼 알고리즘’이 있습니다.
• 크루스칼 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류됩니다.
• 먼저 모든 간선에 대하여 정렬을 수행한 뒤에, 가장 거리가 짧은 간선부터 동일 집합에 포함시키는 방식으로 진행됩니다.
• 이때 사이클을 발생시킬 수 있는 간선의 경우, 집합에 포함시키지 않습니다.
• 최종적으로 신장 트리에 포함되는 간선의 개수는 ‘노드의 개수 - 1’과 같다는 특징이 있습니다.

구체적인 알고리즘

• 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬합니다.
• 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인합니다.
  • 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킵니다.
    • 서로소 집합의 union 연산을 사용해 각 노드의 루트 노드를 동일하게 만듭니다.
  • 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않습니다.
    • 서로소 집합의 find 연산을 통해 각 노드의 루트 노드가 동일하다면 사이클이 발생하는 경우입니다.

동작 과정 예제

예제 코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

7 9 
1 2 29
1 5 75
2 3 35
2 6 34
3 4 7
4 6 23
4 7 13
5 6 53
6 7 25

159

참고

• 이것이 취업을 위한 코딩테스트다. with Python
• http://jaegualgo.blogspot.com/2017/07/minimum-spanning-tree.html