[Algorithm] 위상 정렬 알고리즘이란?

위상 정렬 알고리즘이란?

• 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미합니다.

• 예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정

  

  • 위 세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 순서는?
    • 자료구조 → 알고리즘 → 고급 알고리즘 (o)
    • 자료구조 → 고급 알고리즘 → 알고리즘 (x)

진입차수와 진출 차수

• 진입 차수(Indegree)
  • 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 진출 차수(Outdegree)
  • 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

위상 정렬 알고리즘 세부 동작 과정

• 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣습니다.
• 큐가 빌 때까지 다음 과정을 반복합니다.
  • 큐에서 원소를 꺼내, 해당 노드에서 나가는 모든 간선을 그래프에서 제거합니다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣습니다.
• 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같습니다.

동작 과정 예제

특징

• 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있습니다.
  • DAG (Direct Acyclic Graph) : 비순환 방향 그래프
• 위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재할 수 있습니다.
  • 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재합니다.
• 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있습니다.
  • 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못합니다.
• 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있습니다.

예제 코드

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

7 8
1 2
1 5
2 3
2 6
3 4
4 7
5 6
6 4

1 2 5 3 6 4 7

참고

• 이것이 취업을 위한 코딩테스트다. with Python
• https://www.youtube.com/watch?v=aOhhNFTIeFI