[Shortest Path] 이코테 “정확한 순위” Python 풀이

문제

• 선생님은 시험을 본 학생 N명의 성적을 분실하고, 성적을 비교한 결과의 일부만 가지고 있습니다.

• 학생 N명의 성적은 모두 다른데, 다음은 6명의 학생에 대하여 6번만 성적을 비교한 결과입니다.

  • 1번 학생의 성적 < 5번 학생의 성적
  • 3번 학생의 성적 < 4번 학생의 성적
  • 4번 학생의 성적 < 2번 학생의 성적
  • 4번 학생의 성적 < 6번 학생의 성적
  • 5번 학생의 성적 < 2번 학생의 성적
  • 5번 학생의 성적 < 4번 학생의 성적

• A번 학생의 성적이 B번 학생보다 낮다면 화살표가 A에서 B를 가리키도록 할 때 위의 성적 결과를 다음 그림처럼 표현할 수 있습니다.

  

• 이 그림으로 유추해서 순위를 정확히 알 수 있는 학생도 있고, 알 수 없는 학생도 있습니다.

• 예를 들어 1번 학생은 5번 학생보다 성적이 낮고, 5번 학생은 4번 학생보다 성적이 낮으므로 1번 학생은 4번 학생보다 성적이 낮습니다.

• 따라서 1번, 3번, 5번 학생은 모두 4번 학생보다 성적이 낮다고 볼 수 있습니다.

• 그리고 4번 학생은 2번 학생과 6번 학생보다 성적이 낮습니다.

• 정리하면 4번 학생보다 성적이 낮은 학생은 3명이고, 성적이 높은 학생은 2명이므로 4번 학생의 성적 순위를 정확히 알 수 있습니다.

• 하지만 예시에서 4번 학생을 제외한 다른 학생은 정확한 순위를 알 수 없습니다.

• 학생들의 성적을 비교한 결과가 주어질 때, 성적 순위를 정확히 알 수 있는 학생은 모두 몇 명인지 계산하는 프로그램을 작성하세요.

입력 조건

• 첫째 줄에 학생들의 수 N(2 <= n <= 500)과 두 학생의 성적을 비교한 횟수 M(2 <= M <= 10,000)이 주어집니다.
• 다음 M개의 각 줄에는 두 학생의 성적을 비교한 결과를 나타내는 두 양의 정수 A와 B가 주어집니다.
• 이는 A번 학생의 성적이 B번 학생보다 낮다는 것을 의미합니다.

출력 조건

• 첫째 줄에 성적 순위를 정확히 알 수 있는 학생이 몇 명인지 출력합니다.

입력 예시

6 6
1 5
3 4
4 2
4 6
5 2
5 4

출력 예시

1

풀이

• A번 학생과 B번 학생의 성적을 비교할 때, ‘경로’를 이용하여 성적 비교 결과를 알 수 있다.
• A에서 B로 도달이 가능하다는 것은, A가 B보다 성적이 낮다는 의미가 된다.
• 따라서 A에서 B로 도달이 가능하거나, B에서 A로도 도달이 가능하다면 ‘성적 비교’가 가능한 것이다.
• 반대로 A에서 B로 도달이 불가능하거나, B에서 A로도 도달이 불가능하다면, ‘성적 비교 결과를 알 수 없는’ 경우가 되는 것이다.
  • ‘성적 비교 결과를 아는 것’과 ‘성적 순위를 정확히 아는 것’은 다르다.
  • ‘성적 순위를 정확히 아는 것’은 이후에 설명된다.
• 이 문제에서는 학생의 수 N이 500 이하의 정수이므로, O(N^3)의 시간 복잡도로 동작하는 플로이드 워셜 알고리즘을 이용해 문제를 해결할 수 있다.
• 따라서, 플로이드 워셜 알고리즘을 수행한 뒤에, 모든 노드에 대하여 다른 노드와 서로 도달이 가능한지를 체크하여 문제를 해결할 수 있다.
  • 즉, 특정 학생이 다른 학생보다 성적이 낮거나, 높을 경우를 모두 카운팅함으로써,
  • 해당 학생보다 성적이 낮고 높은 학생들의 합이, 본인을 포함해 n과 같다면,
  • 해당 학생의 정확한 순위를 알 수 있다는 의미이다.

예제 코드

import sys

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, sys.stdin.readline().split())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용을 1로 설정
    a, b = map(int, sys.stdin.readline().split())
    graph[a][b] = 1

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 성적 순위를 정확히 알 수 있는 학생
result = 0

# 각 학생을 번호에 따라 한 명씩 확인하며 도달 가능한지 체크
for i in range(1, n + 1):
    count = 0
    for j in range(1, n + 1):

        # 해당 학생이 다른 학생보다 성적이 낮거나, 높을 경우를 모두 카운팅
        if graph[i][j] != INF or graph[j][i] != INF:
            count += 1

    # 해당 학생보다 성적이 낮거나 높은 학생들의 합이, 본인을 포함해 n과 같다면,  
    # 해당 학생의 정확한 순위를 알 수 있다.
    if count == n:
        result += 1

print(result)

참고

• 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다. with python
• https://unie2.tistory.com/729