[Graph] 이코테 “행성 터널” Python 풀이

문제

• 때는 2040년, 이민혁은 우주에 자신만의 왕국을 만들었습니다.
• 왕국은 N개의 행성으로 이루어져 있습니다.
• 민혁이는 이 행성을 효율적으로 지배하기 위해서 행성을 연결하는 터널을 만들려고 합니다.
• 행성은 3차원 좌표 위의 한 점으로 생각하면 됩니다.
• 두 행성 A(Xa, Ya, Za)와 B(Xb, Yb, Zb)를 터널로 연결할 때 드는 비용은 min(|Xa - Xb|, |Ya - Yb|, |Za - Zb|)입니다.
• 민혁이는 터널을 총 N - 1개 건설해서 모든 행성이 서로 연결되게 하려고 합니다.
• 이때, 모든 행성을 터널로 연결하는데 필요한 최소 비용을 구하는 프로그램을 작성하세요.

입력 조건

• 첫째 줄에 행성의 개수 N이 주어집니다. (1 <= N <= 100,000)
• 다음 N개 줄에는 각 행성의 x, y, z 좌표가 주어집니다.
• 모든 좌표 값은 -10의 9승보다 크거나 같고, 10의 9승보다 작거나 같은 정수입니다.
• 한 위치에 행성이 두 개 이상 있는 경우는 없습니다.

출력 조건

• 첫째 줄에 모든 행성을 터널로 연결하는데 필요한 최소 비용을 출력합니다.

입력 예시

5
11 -15 -15
14 -5 -15
-1 -1 -5
10 -4 -1
19 -4 19

출력 예시

4

풀이

• 이 문제는 N - 1개의 터널을 설치해서 모든 행성이 연결되도록 요구하므로, 최소 신장 트리를 만드는 문제로 이해할 수 있다.
• 일단 크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도는, 간선의 개수가 E일 때 O(ElogE)이다.
• 이 문제에서는 기본적으로 임의의 두 노드 사이에 터널을 연결할 수 있다고 가정하므로, 간선의 개수는 N(N-1) / 2개가 될 것이다.
• N이 최대 100,000이라는 입력 조건을 감안해보면 이는 매우 큰 수가 될 수 있으므로, 모든 두 행성 간의 거리를 확인하는 방법으로는 문제를 해결할 수 없다.
• 하지만, 터널의 비용이 min(|Xa - Xb|, |Ya - Yb|, |Za - Zb|)라고 정의되어 있다.
• 이러한 특징을 이용하면 고려할 간선의 개수를 줄일 수 있다.
• 입력을 받은 뒤에 x축, y축, z축을 기준으로 각각 정렬을 수행한다.
  • 특정 축 기준으로 가장 가까운 행성끼리 나열된다.
• 예를 들어, 문제에서 나온 것과 같이 모든 행성의 좌표가 (11, -15, -15), (14, -5, -15), (-1, -1, -5), (10, -4, -1), (19, -4, 19)라고 해보자.
• 이때 x축만 고려해서 정렬을 수행하면, -1, 10, 11, 14, 19가 된다.
• 결과적으로 각 행성 간 x축의 거리는 차례대로 11, 1, 3, 5가 되는 것이다.
  • x축에 대해서는 4개의 간선만 고려하면 되는 것이다.
• 여기서 알아두어야 할 점은, 만약에 y축과 z축은 무시하고 오직 x축만 존재한다고 했을 때,
• 이러한 4개의 간선만 이용해도 항상 최소 신장 트리를 만들 수 있다는 점이다.
• 즉, 이러한 방법을 이용하면 최소 신장 트리를 만들지 못하는 경우는 존재하지 않는다.
• 결과적으로 x축, y축, z축에 대하여 정렬 이후에 각각 N-1개의 간선만 고려해도 최적의 솔루션을 찾을 수 있다는 아이디어를 떠올릴 수 있으면 된다.
  • 특정 축 기준으로 가장 가까운 행성끼리 나열되기 때문에,
  • 다른 행성 간 거리를 고려할 필요가 없다.
• 따라서, 문제 풀이를 위해 고려한 총 간선의 개수는 3 X (N - 1)개가 되고,
• 이를 이용해 크루스칼 알고리즘을 수행하면, 제한 시간 안에 해결할 수 있다.

예제 코드

# https://www.acmicpc.net/problem/2887

import sys

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if (parent[x] != x):
        parent[x] = find(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union(parent, x, y):
    a = find(parent, x)
    b = find(parent, y)
    if (a < b):
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 행성의 개수 n
n = int(sys.stdin.readline())

# 특정 축 기준으로 저장한 뒤, 정렬
# (좌표 값, 행성 번호)
x = []
y = []
z = []
for i in range(n):
    a, b, c = map(int, sys.stdin.readline().split())
    x.append((a, i))
    y.append((b, i))
    z.append((c, i))
x.sort()
y.sort()
z.sort()

# 특정 축 기준으로 모든 간선의 정보를 저장한 뒤, 정렬
# (특정 축 기준 양쪽 행성의 거리, 왼쪽 행성, 오른쪽 행성)
edges = []
for i in range(n-1):
    edges.append((x[i+1][0]-x[i][0], x[i][1], x[i+1][1]))
    edges.append((y[i+1][0]-y[i][0], y[i][1], y[i+1][1]))
    edges.append((z[i+1][0]-z[i][0], z[i][1], z[i+1][1]))
edges.sort()

# 부모 배열 초기화
parent = [i for i in range(n+1)]

# 최소 비용
result = 0

# 모든 간선 탐색
for cost, x, y in edges:

    # 해당 간선의 두 노드가 같은 사이클이 아니라면
    if (find(parent, x) != find(parent, y)):
        union(parent, x, y)
        result += cost

print(result)

참고

• 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다. with python